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Instituto Feder…

Maio 18, 2012

Instituto Federal do Rio Grande do Sul – campus Osório

Gabriel Bauer de Oliveira – INFO 201

ÍNDICE

1. Começo de ano e a matemática

2. Resumo do trimestre

3. Conteúdos Abordados

    3.1 Trigonometria

          3.1.1 Conceito

                  3.1.1.1 História e definição

                  3.1.1.2 Definição de cateto adjacente (ca), cateto oposto (co) e hipotenusa

                  3.1.1.3 Seno, Cosseno e Tangente

                  3.1.1.4 TABELA DOS VALORES DE SENO COSSENO E TANGENTE DOS ÂNGULOS MAIS COMUNS 

                  3.1.1.5 Unidades de medida e ângulo

                  3.1.1.6 Funções trigonométricas

    3.2 Geometria

         3.2.1 Geometria Plana

                 3.2.1.1 Conceito

                 3.2.1.2 Formas geométricas 

                           3.2.1.2.1 Definições das formas e suas fórmulas

                 3.2.1.3 Polígonos regulares inscritos e circunscritos 

4. Aplicação da Trigonometria

5. Aplicação da Geometria Plana

6. Facebook

7. Considerações finais

8. Agradecimentos

1. Começo de ano e a matemática

     Esse ano começou muito diferente, afinal, todos já se conheciam! 2012, na matéria Matemática, começou de fato ainda nas férias, quando começamos a usar o Facebook para resolver algumas atividades já postadas pela sora, e para ficarmos um pouco a par das matérias que veríamos este ano. Usar o Facebook, quem diria… Isto é um fato que comentarei mais adiante no tópico “7. Facebook”. Bom, então, sem muitas enrolações, vamos à Matemática.

 

2. Resumo do trimestre

     Teoricamente, o primeiro trimestre é o trimestre mais complicado em relação a se disciplinar com tempo para estudo, pois convenhamos, vir de 2 meses de férias e ter que estudar, é um fato que não agrada ninguém, sem dúvida. Neste primeiro trimestre, tivemos apenas 2 conteúdos: trigonometria e geometria, que serão as áreas abordadas a partir de agora. 

3. Conteúdos Abordados

 

3.1 Trigonometria

 

3.1.1 Conceito

 

3.1.1.1 História e definição 

     A trigonometria tem origem quando os antigos povos, já dotados de matérias como a Astronomia, a Matemática, e até mesmo por causa de problemas nas navegações, utilizassem uma forma de calcular grandes distâncias impossíveis de serem medidas naquela época, e que ainda existem dificuldades mesmo nos dias atuais, como por exemplo, medir a distância da Terra até a Lua, que é uma distância muito grande. Trigo = triângulo, metria = medir, então trigonometria significa nada mais que medir um triângulo.

3.1.1.2 Definição de cateto adjacente (ca), cateto oposto (co) e hipotenusa

     Suponhamos que temos um triângulo retângulo com um angulo de 45°.

     Neste triângulo temos 2 ângulos, então teremos 2 catetos opostos e 2 catetos adjacentes e apenas uma hipotenusa, que é utilizada tanto nos dois ângulos. 

     MEDINDO O SENO DO ÂNGULO ALFA

     O seno do ângulo alfa é medido pela fórmula sen alfa = co/hip ou então por co = hip.sen .

     MEDINDO O COSSENO DO ÂNGULO ALFA

     O cosseno do ângulo alfa é medido pela fórmula cos alfa = ca/hip ou então ca = hip.cos .

     MEDINDO A TANGENTE DO ÂNGULO ALFA

      Para medir a tangente de um ângulo alfa usamos a fórmula tg = co/ca ou então co = ca.tg.

 

3.1.1.3 Seno, Cosseno e Tangente

     Digamos que temos uma circunferência, com centro 0,0 no plano cartesiano, e o seu raio seja 1. Desenhamos então um triângulo, partindo de 0,0, desenhando uma reta que alcance 1, em um certo ângulo, escolhido por alguém. Traçamos outra reta, no eixo x, que alcance a distância percorrida pela outra reta, mas sem percorrer nenhum número no eixo y, apenas percorrendo o eixo x.

     O COSSENO

     O cosseno é definido pela projeção de um triangulo com ângulo alfa, e que é representado no eixo de x :

     A reta vermelha representa a projeção alcançada pela reta AB, só que representada no eixo x. Traçando uma reta sobre essas duas projeções, obtemos um triângulo.

     O SENO

     Utilizando a mesma circunferência, de acordo com a ângulo, obtemos uma projeção no eixo x, que foi a projeção que já vimos, e uma projeção no eixo y. A projeção no eixo y é chamada de SENO. A projeção seria assim:

     A TANGENTE

     A tangente seria, traçando uma reta paralela a y na extremidade do círculo, a projeção da reta do ângulo alfa, até ela encontrar-se com essa reta paralela. Ficaria assim:

3.1.1.4 TABELA DOS VALORES DE SENO COSSENO E TANGENTE DOS ÂNGULOS MAIS COMUNS

     Uma coisa interessante de dizer, que a tangente de 90° é infinita, porque sendo a reta do angulo traçada apenas em y, não tendo nenhum valor em x, ela irá se estender somente para cima e nunca encontrará a extremidade do círculo. Gracias ao meu dindo e tio Fábio por esta explicação entre outras. No final colocarei os agradecimentos. Seria assim a tangente no angulo de 90°:

OBS: TODAS ESSAS FÓRMULAS APRESENTADAS SÃO UTILIZADAS NOS EXERCÍCIOS, POR EXEMPLO, PARA SE DESCOBRIR O VALOR DO CATETO OPOSTO OU DO ADJACENTE, OU ENTÃO PARA DESCOBRIR A HIPOTENUSA. VOU FAZER ALGUNS EXERCÍCIOS DEPOIS APRESENTANDO AS FÓRMULAS E QUANDO USÁ-LAS, POR ISSO ESSA PARTE DE EXPLICAÇÕES NÃO FICOU TÃO COMPLETA.

 

3.1.1.5 Unidades de medida e ângulo

     Para medir-se ângulos, existem 2 unidades muito utilizadas: O GRAU E O RADIANO. O grau é obtido através da divisão de uma circunferência qualquer em 360 partes, e cada uma dessas partes representa 1°. O radiano é representado de uma forma diferente. Digamos que temos uma circunferência de raio r. Nesta circunferência, a medida do raio em uma certa parte do “perímetro” seria uma medida em radianos. Então:

     Em 

  • 360º → 2π radianos (aproximadamente 6,28) 
  • 180º → π radiano (aproximadamente 3,14) 
  • 90º → π/2 radiano (aproximadamente 1,57) 
  • 45º → π/4 radiano (aproximadamente 0,785)

     O grau é usado não para definir medidas de comprimento.

     Ao dividirmos o comprimento de um círculo pelo seu raio, temos a medida do ângulo central em radianos.

 

3.1.1.6 Funções trigonométricas

Função de seno

A função de seno é definida pela fórmula f(x) = sen x. 

A amplitude dessa fórmula é [1,-1], sendo o raio de uma circunferência simples com essa unidade.

Como seno x é a ordenada do ponto-extremidade do arco: 1

f(x) = sen x é positiva no 1° e 2° quadrantes (ordenada positiva)

f(x) = sen x é negativa no 3° e 4° quadrantes (ordenada negativa)

Função de cosseno 

A função de seno é definida pela fórmula f(x) = cos x.

A amplitude dessa fórmula é [1,-1], sendo o raio de uma circunferência simples com essa unidade.

Como cosseno x é a abscissa do ponto-extremidade do arco:

f(x) = cos x é positiva no 1° e 2° quadrantes (abscissa positiva)

f(x) = cos x é negativa no 3° e 4° quadrantes (abscissa negativa)

 

3.2 Geometria

     A geometria é a parte da matemática cujo objeto é o estudo do espaço e das figuras que podem ocupá-lo. Está apoiada sobre alguns axiomas, postulados, definições, teoremas e corolários, sendo que essas afirmações e definições são usados para demonstrar a validade de cada teorema.

     A geometria é a área da matemática que estuda o espaço que o quanto figuras podem ocupar ele. Existem fórmulas e diversos conceitos para cada tipo de forma, para calcular o espaço que elas ocupam.

 

3.2.1 Geometria Plana

 

3.2.1 Conceito

     

Alguns tópicos sobre geometria plana:

  • Não possui 3 dimensões, apenas 2;
  • É planificada;
  • Não tem nenhum volume;
  • Possui propriedade fixa, ou seja, um quadrado plano por exemplo, vendo-o de qualquer lado, é sempre um quadrado;
  • Área de uma figura plana é todo o espaço que ela ocupa;
  • Perímetro é a soma de todos os lados da figura plana;

 

3.2.1.2 Formas geométricas 

     Existem diversos tipos de formas geométricas. Algumas possuem estruturas parecidas, como é o caso do quadrado e do retângulo, mas há alguma diferença de uma para outra, e são essas diferenças, sejam elas sutis ou não, que formam a variedade de formas planas conhecidas. Algumas das principais formas são:

  • Quadrado;
  • Retângulo;
  • Triângulos; 
  • Trapézio;
  • Losango;
  • Paralelogramo;
  • Hexágono;

 Quadrado;                                                                                                                               

  

Retângulo;

 Triângulos;     

   

Trapézio;

    

Losango;

Paralelogramo;

          

Hexágono;

   

3.2.1.2.1 Definições das formas e suas fórmulas

     QUADRADO

     Quadrado é um equilátero, com 4 ângulos retos e que possui todos os lados com o mesmo comprimento. A área do quadrado é definida pela fórmula de l.l ou então l².

     A = l.l = l²

RETÂNGULO

O retângulo também possui 4 ângulos retos, mas dois de seus lados possuem uma mesma medida e os outros dois lados possuem uma outra mesma medida, diferente da primeira.

A = b.h

TRIÂNGULOS

Triângulos são do capeta!! Eles possuem três tipos:

Retângulos;

Equiláteros;

Isósceles;

TRIÂNGULOS RETÂNGULOS

Uma boa definição de triângulo retângulo é encontrada na Wikipédia:

“Triângulo retângulo, em geometria, é um triângulo que possui um ângulo reto e outros dois ângulos agudos, para tanto basta que tenha um ângulo reto (90°), pois a soma dos três ângulos internos é igual a um ângulo raso (180°). É uma figura geométrica muito usada na matemática, no cálculo de áreas, volumes e no cálculo algébrico. Em um triângulo retângulo, sabendo-se as medidas de dois lados ou a medida de um lado mais a medida de um ângulo agudo, é possível calcular a medida dos demais lados e ângulos. A área de um triângulo retângulo é dada pela metade do produto dos menores lados. A relação entre os lados e ângulos de um triângulo retângulo é a base da trigonometria.”

http://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo_ret%C3%A2ngulo

Os triângulos retângulos são muito importantes. Lembra daquelas circunferências com triângulos dentro, mostradas no começo deste trabalho? Pois bem, dentro daquelas circunferências, os triângulos utilizados são retângulos, e só deste tipo podem ser usados, pelo fator de só estes possuírem um ângulo de 90°.

FÓRMULA PARA CALCULAR A ÁREA DE UM TRIÂNGULO RETÂNGULO

A = (b.h) / 2

A fórmula é essa, e é muito parecida com a do retângulo, mas aqui só temos a metade de um retângulo, por isso dividimos o resultado por dois.

TRIÂNGULOS EQUILÁTEROS

Triângulos equiláteros possuem seus três lados de mesmo tamanho. Para calcularmos a área, primeiro precisamos descobrir a altura. A altura é a distância entre a base e o ponto mais alto do triângulo equilátero.

Utilizando a formula da altura encontrada e substituindo na fórmula A = b.h/2, a fórmula para o cálculo da área fica:

TRIÂNGULO ISÓSCELES 

Triângulos isósceles tem dois de seus lados de mesmo tamanho e um lado de outro tamanho, podendo ser maior ou menor que esses dois outros lados. Há um caso, em que um triângulo retângulo é ao mesmo tempo isósceles. É quando esse triângulo possui um ângulo de 90° (por isso sendo retângulo) e possui também dois outros ângulos de 45°. O triângulo seria esse:

 

Para calcular a área do triângulo isósceles usamos a mesma fórmula do triângulo retângulo

A = (b.h) / 2

TRAPÉZIO

Para calcular a área de um trapézio utilizamos a seguinte fórmula: (B+b).h/,2, onde B é a base maior, b é a base menor e h é a altura. 

LOSANGO

O a soma dos ângulos internos do losango é 360°. A área do losango é definida pela fórmula D.d/2, ou então podemos calcular usando a fórmula do triângulo retângulo ou equilátero, já que teremos 4 triângulos retângulos em um losango, ou 2 triângulos equiláteros. Então podemos usar a fórmula do losango, do triangulo retângulo e multiplicar por 4, que é o numero de triângulos retângulos num losango, ou então calcular pela fórmula do triângulo equilátero e multiplicar por dois, que é o número que temos desses triângulos em um losango.

PARALELOGRAMO

Um paralelogramo, é uma forma parecida com um quadrado ou um triângulo, mas com dois lados inclinados. A fórmula de cálculo da área de um paralelogramo é b.h.

HEXÁGONO

Em um hexágono temos 6 triângulos equiláteros. Já sabemos calcular a área do triângulo equilátero, então calculamos sua área e multiplicamos o resultado por 6, pois é o numero de triângulos que cabem em um hexágono.

 

 

3.2.1.3 Polígonos regulares inscritos e circunscritos

Definição de circunsnscrito:

     Um polígono é circunscrito a uma circunferência quando possui seus lados tangentes à circunferência. Ao mesmo tempo, dizemos que esta circunferência está inscrita no polígono. Simplificando, todos os lados do polígono encostam em alguma parte:

Uma propriedade interessante que acabei encontrando é que, a soma da metade dos lados do polígono regular que está fora do círculo, é igual a soma das outras metades.

Definição de inscrito

Um objeto inscrito nada mais é quando ele está dentro de um círculo, e todas as suas arestas (cantos que formam ângulos) encostam em alguma parte do círculo.

Quadrado inscrito

A diagonal de um quadrado inscrito é igual ao diâmetro do círculo. Então podemos usar Pitágoras para descobrir a relação entre o lado e a diagonal.

D²=l²+l²

d=2l²

D=sqrt(2l²)

D=sqrt(2l)

Triângulo equilátero inscrito

Um triângulo  inscrito, atinge apenas uma certa altura do circulo. Essa altura é o raio do circulo mais meio raio.

Na figura vemos o centro do circulo no encontro das duas retas, e podemos notar que o raio ocupa toda a parte de cima do triângulo mais a metade da parte de baixo.

Hexágono inscrito

Um hexágono perfeito, inscrito, possui todos os seus lados do mesmo tamanho. E por essa perfeição, seus 6 triângulos equiláteros dentro possuem todos a mesma medida. Logo, a medida do lado do triângulo equilátero é igual a medida do raio do circulo em que ele está inscrito.

 

4. Aplicação da Trigonometria

A trigonometria, assim como a matemática em geral, está presente em todos os lugares, muitas vezes (a maioria delas, nós não percebendo). A trigonometria está muitas vezes associada a descobrir distancias ou alturas a partir de dados que nós temos, mas que não nos informam o que queremos saber. Aqui temos um exemplo:

     2) Quando o ângulo de elevação do sol é de 65 º, a sombra de um edifício mede 18 m. Calcule a altura do edifício. 
(sen 65º = 0,9063, cos 65º = 0,4226 e tg 65º = 2,1445)

 

     Temos o ângulo que é 65° e o cateto adjacente, pois é o cateto que forma o ângulo junto com a hipotenusa. Os valores de seno cosseno e tangente de 65° são respectivamente 0,9063; 0,4226; 2,1445. Queremos então descobrir a altura do prédio, que é o cateto oposto. Não temos o valor da hipotenusa, mas temos a informação que a tangente de 65° é 2,14 aproximadamente Sabendo disso então, poderemos descobrir a tangente. A fórmula é tg = co/ca ou co = ca.tg. Substituindo fica co = 18.2,14 que dá 38,52 m o cateto oposto. Então o exercício está resolvido, pois só pedia a altura do prédio.

 

5. Aplicação da Geometria Plana

A geometria plana está presente em diversas áreas também, basicamente como calcular áreas planas, pois quem trata das áreas espaciais é a geometria espacial, na qual falarei em outra oportunidade. Vejamos um exercício.

Um prédio possui as seguintes medidas: 50m de altura de 20m de largura. Uma lata de tinta pinta 50m². Sendo que, devem ser pintados 80% dele com tinta azul e 20% com tinta verde, quantos metros quadrados serão pintados ao total, quantos serão pintados de cada cor, quantas latas de tinta serão usadas ao total e quantas serão usadas de cada cor.

Bom, primeiro podemos calcular toda a área a ser pintada. A área de um retângulo é definida pela fórmula b*h, que no caso seria 20*50=1000m² a área de uma face do prédio. Como são 4 faces, multiplicamos por 4, que dará 4000m². 

Cada lata pinta 50m², então dividimos os 4000m² por 50 para descobrir quantas latas serão usadas. Aqui serão usadas 80 latas ao todo, somando as duas cores. 

Agora, podemos pegar 80% de 4000, para sabermos quantos metros quadrados serão usados de cor azul. 4000/10*8=3200m². Então 3200m² serão de tinta azul e 800m² de tinta verde. Agora, para descobrimos quantas latas serão usadas para pintar de azul, pegamos os 3200 e dividimos por 50, que dá 64. 64 latas de tinta azul serão usadas. Para conferir o resultado, que disse que seriam usadas 80 latas ao todo, pegamos os 800m² que restaram e dividimos por 50, que dá exatamente 16, ou seja, as latas que faltavam para completar 80. 

Assim temos as respostas:

  • 4000m² para pintar ao total;
  • 3200m² para pintar de azul, correspondente a 80% da área de 4000, e 800m² para pintar de verde, correspondente aos 20%;
  • 80 latas ao total, sendo 64 de tinta azul e 16 de tinta verde.

E é isso, eu que criei esse exercício :D haha. 

 

6. Facebook

     Quem diria, uma coisa que eu particularmente só utilizava pessoalmente, nunca imaginei que poderia ser usado para esse fim. “Ah mãe, preciso entrar no meu Facebook para estudar matemática” com certeza foi uma frase muito utilizada por muitos este trimestre. Pra mim, pessoalmente, que não conhecia todos os recursos disponibilizados pelo Facebook, foi uma grande surpresa ver tudo que se pode fazer nele. E por essa desinformação, acabei levando muito tempo até compreender a sistemática usada lá, com todos se ajudando sempre. Foi/é/continuará sendo uma coisa muito interessante e com certeza, ainda muito explorada e utilizada por todos para compreender a matéria, pois o importante não é o tempo que vai levar, mas a forma como se tenta aprender e se realmente se aprendeu algo ou não.

 

7. Considerações finais

Bom “fessora”, neste trimestre como de costume, comecei atrasado, meio relax até pegar no tranco, e quando peguei já estava quase no fim. Quase que eu não alcanço a turma, mas acabei recuperando em partes. Enfim, sem encher muito a “linguiça”, eu não vou me dar uma nota específica, pois somos pessoas, e pessoas se doam, se esforçam, e é isso que deve ser valorizado, o quanto alguém se esforça para determinar determinado assunto. A partir de agora irei me esforçar mais e “correr na frente” para não ficar atrasado. E é isso aí sora, valeuu :D.

 

8. Agradecimentos

 

À minha mãe pelas refeições preparadas e feitas com eu na frente do pc.

Ao meu pai, pelo incentivo moral e psicológico, mesmo morando longe.

A Taciana, que sempre me ajudou moralmente, dizendo que eu iria chegar aqui (e ela acertou!!)

Ao Jack Johnson principalmente, pelas horas que ele passou cantando exaustivamente no media player sem pausa.

Enfim, e principalmente, agradeço a Deus por ter me proporcionado todas as outras pessoas citadas acima, e também as não citadas, que me fizeram ser o que sou hoje.

Muito obrigado.

 

CHEGUEI NO FIM, TERMINEI MALUCÃO!!!!!!

 

DALEEEEEEEEEE!!!!!

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